求一个函数的反函数问题

求一个函数的反函数问题

一般有两种方法：

第一种方法：将自变量和因变量置换，然后求出类似于 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的函数即可。

第二种方法：由 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 直接解出 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)，然后再置换自变量和因变量。

例一

求解 y=x+13y = \sqrt[3]{x+1}y=3x+1​ 的反函数。

解：

第一步： y=x+13y = \sqrt[3]{x+1}y=3x+1​ 改写为 x=y+13x = \sqrt[3]{y+1}x=3y+1​

第二步：解出，可得：y=x3−1y=x^{3}-1y=x3−1

例二

求解 y=1+ln⁡(x+2)y = 1+\displaystyle \ln (x+2)y=1+ln(x+2) 的反函数。

解：

第一步： y=1+ln⁡(x+2)y = 1+\displaystyle \ln (x+2)y=1+ln(x+2) 改写为 x=1+ln⁡(y+2)x = 1+\displaystyle \ln (y+2)x=1+ln(y+2)

第二步：即由 x=1+ln⁡(y+2)x = 1+\displaystyle \ln (y+2)x=1+ln(y+2) 可得：

ln⁡(y+2)=x−1(1)\displaystyle \ln (y+2) = x-1 \tag{1}ln(y+2)=x−1(1)

y+2=ex−1(2)y+2 = e^{x-1} \tag{2}y+2=ex−1(2)

y=ex−1−2(3)y = e^{x-1}-2 \tag{3}y=ex−1−2(3)

例三

求解 y=1+2x2x+1y = 1+\frac{2^{x}}{2^{x}+1}y=1+2x+12x​ 的反函数。

解：

第一步： y=1+2x2x+1y = 1+\frac{2^{x}}{2^{x}+1}y=1+2x+12x​ 改写为 x=1+2y2y+1x = 1+\frac{2^{y}}{2^{y}+1}x=1+2y+12y​

第二步：即由 x=1+2y2y+1x = 1+\frac{2^{y}}{2^{y}+1}x=1+2y+12y​ 可得：

2yx+x=2y(1)2^{y}x+x = 2^{y} \tag{1}2yx+x=2y(1)

2y(x−1)=−x(2)2^{y}(x-1) = -x \tag{2}2y(x−1)=−x(2)

2y=x(1−x)(3)2^{y} = \frac{x}{(1-x)} \tag{3}2y=(1−x)x​(3)

y=log⁡2x1−x(4)y=\log_{2}\frac{x}{1-x} \tag{4}y=log2​1−xx​(4)

例四

求解 y=f(x)=ln⁡(x+x2+1)y = f(x) = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})y=f(x)=ln(x+x2+1​) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) 的表达式及其定义域。

解：

由对数的性质：

ln⁡ab=ln⁡a+ln⁡b\displaystyle \ln{ab} = \displaystyle \ln{a}+\displaystyle \ln{b} lnab=lna+lnb

ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\displaystyle \ln{\frac{a}{b}} = \displaystyle \ln{a}-\displaystyle \ln{b}lnba​=lna−lnb

ln⁡ab=bln⁡a\displaystyle \ln{a^{b}} = b\displaystyle \ln{a}lnab=blna

对于题目待求式：y=f(x)=ln⁡(x+x2+1)(1)y = f(x) = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\tag{1}y=f(x)=ln(x+x2+1​)(1)

两边同时加负号，可得： −y=−ln⁡(x+x2+1)-y = -\displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})−y=−ln(x+x2+1​)

−y=ln⁡(x+x2+1)−1-y = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})^{-1}−y=ln(x+x2+1​)−1

−y=ln⁡1x+x2+1-y = \displaystyle \ln\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}−y=lnx+x2+1​1​

右边式子分母分子同时乘于分母的共轭式： x−x2+1x-\sqrt{x^{2}+1}x−x2+1​，可得：

−y=ln⁡x−x2+1(x+x2+1)(x−x2+1)-y = \displaystyle \ln\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{(x+\sqrt{x^{2}+1)(x-\sqrt{x^{2}+1})}}−y=ln(x+x2+1)(x−x2+1​)​x−x2+1​​

−y=ln⁡x−x2+1x2−x2−1-y = \displaystyle \ln\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-x^{2}-1}−y=lnx2−x2−1x−x2+1​​

−y=ln⁡(x2+1−x)-y = \displaystyle \ln({\sqrt{x^{2}+1}-x})−y=ln(x2+1​−x)

e−y=x2+1−x(2)e^{-y}= \sqrt{x^{2}+1}-x\tag{2}e−y=x2+1​−x(2)

由(1)式两边取e可得：ey=x2+1+x(3)e^{y}= \sqrt{x^{2}+1}+x\tag{3}ey=x2+1​+x(3)

(3)式减去(2)式可得：ey−e−y=2xe^{y}-e^{-y}=2xey−e−y=2x ，那么 x=12(ey−e−y)x = \frac{1}{2}(e^{y}-e^{-y})x=21​(ey−e−y)

交换上式中的 x，yx，yx，y 的位置， 就是 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的反函数， 即：

y=f−1(x)=12(ex−e−x),−∞

例五

求解 y=2x+∣2−x∣y = 2x+|2-x|y=2x+∣2−x∣ 的反函数。

解：

第一步：先去掉绝对值，将方程改写为：

{y=x+2,x≤2y=3x−2,x＞2

\begin{cases}

y = x + 2,x≤2 \\

y = 3x - 2,x＞2

\end{cases}

{y=x+2,x≤2y=3x−2,x＞2​

直接求解 x=f(y)x=f(y)x=f(y) 的方式，现在分两部分来求解：

对于 y=x+2,x≤2y = x + 2,x≤2y=x+2,x≤2 ，我们可以写成 x=y−2,y≤4x=y-2,y≤4x=y−2,y≤4

对于 y=3x−2,x＞2y = 3x - 2,x＞2y=3x−2,x＞2 ，我们可以写成 x=y−23,y＞4x=\frac{y-2}{3},y＞4x=3y−2​,y＞4

综上所述，我们得出：

{x=y−2,x≤4x=y−23,y＞4

\begin{cases}

x = y - 2,x≤4 \\

x=\frac{y-2}{3},y＞4

\end{cases}

{x=y−2,x≤4x=3y−2​,y＞4​

我们将x和y互换得：

{y=x−2,x≤4y=x−23,y＞4

\begin{cases}

y = x - 2,x≤4 \\

y=\frac{x-2}{3},y＞4

\end{cases}

{y=x−2,x≤4y=3x−2​,y＞4​

所以，f(x)=2x+∣2−x∣对应的反函数f−1(x)={y=x−2,x≤4y=x−23,y＞4f(x)=2x+|2-x|对应的反函数f^{-1}(x)=\begin{cases}

y = x - 2,x≤4 \\

y=\frac{x-2}{3},y＞4

\end{cases}f(x)=2x+∣2−x∣对应的反函数f−1(x)={y=x−2,x≤4y=3x−2​,y＞4​

犯其至难，图其致远。

前路漫漫，行则必达！

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